Si tu hijo te pide ayuda con los deberes de matemáticas y ves que, en un ejercicio, los ángulos de un triángulo suman solo 90 grados, inmediatamente le dirías que se ha equivocado, pero… ¿Y si existiese una geometría donde su respuesta pudiera ser correcta? La larga obsesión de los matemáticos por entender en profundidad las bases formales de la geometría dio lugar a la aparición de universos insospechados donde este tipo de fenómenos son posibles. Pero lejos de cerrar la cuestión, abrió otra: ¿cómo podemos imaginarlos?
El trabajo de numerosos matemáticos culminó en el descubrimiento de la geometría hiperbólica; vislumbrarla más allá de sus fórmulas es hoy posible gracias a la realidad virtual
Si tu hijo te pide ayuda con los deberes de matemáticas y ves que, en un ejercicio, los ángulos de un triángulo suman solo 90 grados, inmediatamente le dirías que se ha equivocado, pero… ¿Y si existiese una geometría donde su respuesta pudiera ser correcta? La larga obsesión de los matemáticos por entender en profundidad las bases formales de la geometría dio lugar a la aparición de universos insospechados donde este tipo de fenómenos son posibles. Pero lejos de cerrar la cuestión, abrió otra: ¿cómo podemos imaginarlos?
La geometría que estudiamos en el colegio, conocida como euclídea, fue formalizada hace más de dos mil años en Los Elementos. Aunque, a ojos de hoy, esta obra contenga errores formales desde la primera página (que han ido corrigiéndose con el tiempo, no hay de qué preocuparse), cambió la manera en que se hacen matemáticas. Su autor, Euclides, asumió como verdaderas cinco afirmaciones (o postulados) para, simplemente aplicando la lógica, obtener todos los resultados teóricos de geometría plana que se conocían en la época como, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, y desarrollar nuevos teoremas.
Los cuatro primeros postulados de Euclides eran muy sencillos y evidentes, por ejemplo, que por dos puntos pasa una única recta, y se aceptaron sin problema. Sin embargo, el quinto era más complejo. Decía, de manera enrevesada, que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela. Esto motivó la pregunta de si se podría deducir de los cuatro primeros que, por lo tanto, serían los únicos postulados necesarios.
A lo largo de los siglos, matemáticos de todo el mundo trataron, en vano, de demostrarlo formalmente. Los primeros intentos vinieron de Grecia. En el siglo V, Proclo creyó haberlo hecho, pero asumió, sin justificarlo a partir de los postulados, que cualesquiera dos rectas que no se cortan están siempre a la misma distancia. A partir del siglo IX, los matemáticos del imperio árabe tomaron el testigo del problema. Alhacén lo “demostró” asumiendo, de nuevo sin justificación, que dos líneas rectas no pueden delimitar un área. A principios del s. XII se tradujo Los Elementos del árabe al latín. Lo hizo Adelardo de Bath, según cuenta la leyenda, tras aprender árabe viajando por Anatolia y Egipto y visitar Córdoba, donde se hizo pasar por un estudioso musulmán para conseguir una copia. Desde ese momento, numerosos matemáticos occidentales se sumaron a la causa. En el siglo XVII, el matemático inglés John Wallis dio una “demostración” donde injustificadamente asumía que cualquier triángulo puede reescalarse.
No fue hasta la primera mitad del siglo XIX cuando, de manera independiente, el joven militar húngaro János Bolyai y el profesor ruso Nikolái Lobachevski desarrollaron una geometría en la que por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela. Aunque Lobachevski la bautizó como imaginaria, es la que hoy en día conocemos como geometría hiperbólica y juega un papel central en las matemáticas.
Las ideas de Bolyai y Lobachevski necesitaban un modelo que probara que su geometría es realizable. Este solo llegó de manera formal casi medio siglo más tarde. Los matemáticos, como el alemán Bernhard Riemann, estaban comprendiendo que existen otros espacios sobre los que también se puede hacer geometría, donde la noción de línea recta pasa a ser la distancia más corta entre dos puntos y puede tomar formas diferentes según la forma propia del espacio. Usando estas ideas, en 1868, el matemático italiano Eugenio Beltrami introdujo un modelo matemático de la geometría hiperbólica, hoy llamado disco de Poincaré. Aquí, el quinto postulado de Euclides no es cierto, pero sí se cumplen el resto.
Podemos ver el disco de Poincaré en varias obras del artista neerlandés M. C. Escher. Es un círculo en el plano donde, desde nuestra perspectiva, los objetos se hacen infinitamente pequeños a medida que se acercan al borde. Las líneas son ahora diámetros del círculo o arcos de circunferencia perpendiculares al borde. Por ello, dada una línea y un punto exterior a la misma, hay infinitas rectas hiperbólicas que pasan por ese punto sin cortar a la recta dada. Otra consecuencia es que la suma de los ángulos de un triángulo no es de 180 grados, sino estrictamente menor y variable.
La comunidad matemática también estaba interesada en hallar modelos físicos. El propio Beltrami los produjo en papel, todavía conservados en Pavía, y el estudiante alemán Walther von Dyck, en escayola. Ambos eran modelos parciales o locales. De hecho, el matemático alemán David Hilbert probó en 1901 que no era posible visualizar la geometría hiperbólica, en su totalidad, en dimensión tres. En nuestro día a día podemos encontrar modelos locales de la geometría hiperbólica: en una hoja de col kale, en una silla de montar o en un conocido (y perfectamente ondulado) snack de patata. O también los podemos construir, por ejemplo, a partir del colorido ganchillo hiperbólico desarrollado por la matemática lituana Daina Taimina en 1997.
La llegada de las nuevas tecnologías ha multiplicado las maneras de visualizar este mundo hiperbólico: desde webs interactivas que nos permiten dibujar con una regla y un compás hiperbólicos hasta vídeos para comprender la relación entre diferentes modelos a través de la luz. Recientemente, el videojuego Hyperbolica (que permite una experiencia inmersiva con gafas de realidad virtual) utiliza como decorado, aunque con un protagonismo indudable, este paisaje cocinado a fuego lento durante más de dos milenios de matemáticas.
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
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